Triada Klangou

“¿Existirían verdades matemáticas aun si el universo desapareciese? ¿Existió el teorema pitagórico antes de Pitágoras? Cuando tres personas ven el mismo animal, decimos que el animal es real, ¿ qué ocurre cuando tres personas “ven” la misma idea?”

Desde la época de Platón hasta nuestros días, existe la opinión unánime de que la contribución de Pitágoras y de los Pitagóricos ha sido decisiva para el desarrollo de las matemáticas y de la música. La Escuela de Pitágoras es considerada como la primera Universidad del mundo.

Hagamos un pequeño recorrido por la ciencia actual con el fin de corroborar en ella el pensamiento pitagórico. 

Kepler, pensamiento pitagórico, poliedros platónicos

El astrónomo J. Kepler (1571 – 1630) consideraba, al igual que los Pitagóricos, que los números era apasionantes. Kepler insistía en que el universo físico estaba planificado de acuerdo a modelos matemáticos, las cuales eran simples y accesibles a la inteligencia humana.

Un cubo fantástico separaba a Saturno de Júpiter, un tetraedro regular se encontraba entre Júpiter y Marte, un dodecaedro regular separaba a Marte de la Tierra, un icosaedro regular estaba entre la Tierra y Venus y un octaedro regular separaba a Venus de Mercurio.

Dirac y el pensamiento pitagórico. Belleza matemática

P. Dirac (1902 – 1984) es quien previó teóricamente la existencia de los anticuerpos. Al mismo tiempo, era inspirado por la idea de la belleza matemática. En 1963, en un artículo del Scientific American, dijo: “Una teoría con belleza matemática es más probable que sea correcta que otra fea que sustente algún elemento matemático. Dios es un matemático de gran altura y utiliza unas matemáticas muy avanzadas en la estructuración del universo”.

La pérdida de la proporción original. Cambio de frecuencia original

La escala musical que introdujo Pitágoras en Occidente, y que utilizan los hindúes, comienza con la nota Do y su frecuencia es de 256 ciclos por segundo (Hertz). Podemos verla representada incluso en dibujos de Robert Floudd, de la época del Renacimiento. Sin embargo, hoy hemos cambiado esta frecuencia y utilizamos para la nota Do la frecuencia de 264 ciclos por segundo.

La clave para las proporciones armónicas se encuentra escondido en la tetraktis de Pitágoras. La tetraktis está formada por 4 números cuyas proporciones expresan los espacios de la octava. Para Pitágoras, la música constituía una de las partes de la divina ciencia de las matemáticas y sus armonías eran verificadas por proporciones matemáticas. Además, los Pitagóricos afirmaban que las matemáticas mostraban el método exacto mediante el cual Dios había creado el universo y lo mantenía.

Pitágoras dividió las partes de la creación en esferas. A cada una de ellas atribuía un tono, un espacio armónico, un color, un número y una forma. Para demostrar la exactitud de sus conclusiones, relacionó estas esferas con los diversos planos del espíritu y de la materia, los cuales iban graduándose desde la estructura lógica más abstracta hasta el cuerpo geométrico más denso. Aplicó la recientemente descubierta ley de los espacios armónicos a todos los fenómenos de la naturaleza, mostrando la relación armónica de los planetas y las constelaciones entre sí. Un notable ejemplo de la demostración actual de estas antiguas enseñanzas filosóficas es la progresión de los elementos en proporciones armónicas. Confeccionando una lista de elementos en serie ascendente, de acuerdo a su peso atómico, Newlands descubrió en cada elemento octavo, una repetición de sus componentes. Este descubrimiento es conocido en la química actual como “ley de la octava”.

La Coma pitagórica

¿Qué es la coma pitagórica? Todo comienza con el intento de Pitágoras y de sus discípulos de dividir la octava (diapasón) de una manera determinada, creando así una serie espacial de tonos, semitonos y de divisiones aun más pequeñas que el semitono, dando como resultado la aparición de las escalas. Es decir, aquello que los antiguos llamaban sistema y que hoy denominamos escalas. Podemos calcular la Coma pitagórica de la siguiente manera: Comenzando con un Do de piano y avanzando con quintas, tenemos:

Do¹3/2 = sol¹.3/2 = re².3/2 = la ².3/2 = mi ³.3/2 = si³.3/2 =
fa#⁴.3/2 = do⁵#.3/2 =
= sol#⁵.3/2 = re⁶#.3/2 =
la⁶ #.3/2 = mi #⁷.3/2 = si⁷#.

(los indicadores 1,2,3… indican la serie de la octava)

Con 1 el primer do de la serie tendremos:

si #⁷ / do¹ = (3/2)¹² (a)

Si ahora comenzamos y avanzamos con espacios de octava (2:1), entonces en vez de

si⁷# encontraremos lógicamente los do⁸ que tendrá que estar en proporción con el do¹:do⁸ / do¹ = 2⁷ (b)

La diferencia entre estas dos razones (a y b) nos da lo que llamamos la coma pitagórica, una diferencia acústica muy pequeña, claro, pero capaz de alterar la certitud sobre las proporciones perfectas e íntegras que buscaban los Pitagóricos.

Una diferencia del tenor:

(3:2)¹² / 2⁷ = 3¹² / 2¹⁰ = 1,0136406<1/4 del tono.

Así pues, en un instrumento musical, si mantenemos las quintas de manera correcta, descomponemos las octavas y viceversa.

La Coma pitagórica y su importancia metafísica

Esta pequeña disonancia o imperfección, la coma pitagórica, es la base de la existencia del mundo. Si no existiera esta pequeña imperfección, el mundo no existiría. Existiría una armonía estática, reabsorbida en una perfección infinita. De la misma manera que el corazón no se encuentra en el centro del pecho, que el eje de la tierra no es totalmente vertical en su órbita y de la misma manera que el año solar no coincide con el año lunar, así también el desarrollo de las 12 quintas, en vez de llevarnos de nuevo al principio de la octava, nos deja una diferencia ínfima, la “coma”, la cual debemos trascender, y es la que hace que cualquier cálculo sea complejo, que nos sea difícil configurar esas leyes severas pero simples, atractivas pero imprecisas, con las que se deleita nuestra mente. Estas “quintas” conforman una espiral en la que las notas, volviendo sobre sí mismas, no pueden encontrarse nunca. Para nosotros, esta espiral infinita puede ser el punto en la estructura del mundo, la estrecha puerta que nos permitirá escaparnos de la apariencia de un universo cerrado, viajar a otros mundos y explorar sus misterios.

Sin la “coma” no podemos hacer nada de eso. El hombre ha extraido su música del mar de la existencia, el constante vibratorio y las concordancias preexisten ya dentro de los mecanismo de las olas y de las frecuencias. No descubrimos nada. Sencillamente podemos sentir esos ritmos y esas fuerzas cósmicas y corresponder a ellas, porque también nosotros vibramos al compás de estos ritmos.

El hombre debe aprender a conciliarse con las armonías de su medio. La música es el puente entre lo manifestado y lo invisible. Lo que se muestra ante nuestros sentidos no es sino una presencia externa, un cascarón de las energías más profundas. Detrás se esconde algo muy grande, que queda a la espera de su intepretación. 

El reloj interno del hombre y la “coma” pitagórica (novedades científicas, revista Science, mayo 2000)

Steven Reppert y sus colaboradores de la Facultad de Medicina de Harvard encontraron datos sobre el mecanismo que dirige los genes a través de las proteínas, de manera que pueda ser regulado el reloj interno de un ser biológico, durante el ciclo de sueño y vigilia.

Mientras que normalmente habríamos esperado que este ciclo fuese de 24 horas, como es el ciclo del día, sin embargo comprobamos que el período de este ciclo es de 24 horas y 11 minutos. Este período exacto fue medido por primera vez en 1999 por Charles Czeizler, también de la Facultad de Medicina de Harvard. Si dejásemos que nuestro reloj biológico funcionase solo, avanzaríamos cada día 11 minutos más que el día anterior (24 horas).

También aquí aparece la idea de la “coma” pitagórica porque, mientras que el ciclo del día es de 24 horas, o sea de 1440 minutos, la duración del reloj biológico es de 1451 minutos. Y 1451/1440 = 1,007638, un número que se acerca mucho a la coma pitagórica (1,0136406). En estos números, en base a los instrumentos de experimentación y de investigación de los que disponemos, la exactitud es algo inaccesible. Por ejemplo, la duración del día no es exactamente 24 horas sino un poco más y oscila en los grandes ciclos astronómicos. De la misma manera, es probable que la medida del reloj biológico interno no sea exacta. Por lo tanto, esta diferencia en los números no es suficientemente clara.

Ianis Xenakis – La música y las matemáticas

La entrevista que se refiere a continuación fue dada en septiembre de 1978, cuando vino a Micenas y presentó el “Poli-espacio de Micenas”

La música es quizás el arte más ligado a las matemáticas, al pensamiento matemático, en razón de su propia naturaleza. Su estructura ordenadora puede disponer los elementos de un conjunto, de un carácter, como ser la altura, la intensidad, la densidad, o como ser el grado de desorden. A través de la historia, en muchas ocasiones el pensamiento musical fue una vanguardia frente al pensamiento matemático. Los Pitagóricos, por ejemplo, relacionaban la altura con la longitud de las cuerdas. Por ejemplo, para encontrar el espacio de la octava, tenían que dividir la cuerda en cuatro. Es una división con dos – se trata de una progresión geométrica regresiva.

Aristoxenos de Tarento, desde el punto de vista de los músicos, decía las mismas cosas aunque de manera diferente. Para hacer doble un espacio de octavas, sencillamente tengo que añadir un espacio, un espacio musical, de otra octava. Por lo tanto, lo que Pitágoras llamaba multiplicación, Aristoxenos, que era músico, lo llamaba adición. Ahora bien, en cuanto a la relación que existe, punto por punto, entre la altura de volumen que escuchamos y la longitud de la cuerda del instrumento físico que produce el sonido, esta relación no la habían observado en aquella época, a pesar de que la ponían en práctica. Como teoría matemática la encontramos mucho después. Es la llamada función logarítmica o su inversión, la función exponencial. He aquí un ejemplo en el que los músicos habían expresado determinados puntos de vista dos mil años antes de lo que lo expresaran las matemáticas.

Sobre la armonía

De Vasilis Dallis (Vasilis Dallis, físico y músico, analiza la armonía como elemento componente del mundo, basado en las ideas de los Pitagóricos, de Heráclito y de la física moderna)

Armonía – Ares – Número

De acuerdo al diccionario de la lengua griega Η. Liddell – Η. Scott, la armonía (en el sentido de αρμόζω = convenir, acordar) proviene de la raíz “Αρ-”, de donde proviene también el verbo αραρίσκω = conjugar, unificar y el verbo άρω = ajustar,así como los conceptos άρθρον = artículo, αρμός = articulación, αρμονία = armonía, αριθμός = número, άρτιος = par (número), άριστος = aristos, αρετή = virtud, άρμα = carro y probablemente Άρειος = Ario y Άρης = Ares (lo cual no es en absoluto inverosimil, dado que es el padre de Armonía).

Así pues, la base etimológica del pensamiento de los Pitagóricos nos señala dos conceptos básicos: El de la Armonía y el del Número, en donde, con el casamiento de Armonía con Kadmos (el Mundo) tenemos codificada, por lo menos con estos conceptos, la belleza perfecta del mundo.

Por extensión, y de acuerdo siempre a los puntos de vista de los Pitagóricos, las “ecuaciones” de la descripción de esta belleza (del alma y de la materia) tendrán relaciones y proporciones matemáticas lo más simples posibles, problema que todavía se está en investigación, desde Pitágoras hasta la teoría de las supercuerdas. El concepto de Armonía se relaciona también con la concordancia de sonidos y, en este sentido, la vemos como un personaje mítico, compañera de Hebe, de las Gracias y de las Horas.

El problema de Fibonacci, que se relaciona con el número de la sección áurea de Pitágoras, lo encontramos en toda la naturaleza viva, en las espirales vivas. La serie de Fibonacci, así como los llamados números transcendentales (el número Φ de la sección áurea, el π, el e neperiano y también ahora el número “de la globalidad” de Feigenbaum sobre el paso de los sistemas al estado de caos) son tales que para calcular cualquier número de la serie es imprescindible que conozcamos el anterior.

No existe ninguna fórmula matemática que nos dé la posibilidad de preverlos. Diríamos, de manera simbólica, que están “colgados” desde el cielo, en el mundo Arquetípico, entre el cielo y la tierra y, por esa razón, son divinos y transcendentales.

Los números como arquetipos y como realidades psicológicas.

Psicología de Jung

Marie-Louise von Franz (del Instituto de C. Jung en Zurich) ha escrito un estudio sobre la importancia del número en las matemáticas, en la filosofía y como símbolo de valor psicológico, en un intento de conciliar la distancia existente entre la psicología y la física. Observó que Niels Bohr había subrayado el hecho de que se ha realizado un gran adelanto en la concienciación de que la descripción de la realidad puede hacerse por medio de la combinación de números puros, cosa que se hace eco del sueño de la escuela pitagórica.

Los números parecen representar características de la materia y al mismo tiempo representan también los fundamentos inconscientes de los procesos mentales. Por esa razón, de acuerdo a C. Jung, el número conforma ese elemento concreto que unifica el reino de la materia con el del alma. Es “real” en un doble sentido, como una imagen arquetípica y como una expresión cuantitativa en el reino de la experiencia externa. Por lo tanto, el número tiende un puente entre el mundo físico conocido y el mundo de la imaginación. De esta manera, se convierte en agente de unión, mediador entre el mito y la realidad, a la vez cualitativo y cuantitativo, expresivo e inexpresivo.

Los números, sobre todo como estructuras arquetípicas estables del inconsciente grupal, poseen un aspecto dinámico y activo que es de fundamental importancia para la mente. Lo esencial no es qué podemos hacer nosotros con los números, sino el qué hacen los números en nuestra conciencia.

Cuando estudiamos las características específicas de los números físicos, podemos destacar que ellos generan los mismos resultados reguladores al nivel físico y al psíquico. Así parecen constituir las constantes más básicas de la naturaleza, expresando la realidad psico-física de manera unificada. En razón de todo lo expresado, deducimos que la misión de los matemáticos del futuro será la de reunir las características de los números y analizar cada número en su relación lógica con todos los demás, cuando ello sea posible. Esta investigación podría ser asignada a los matemáticos en colaboración con los físicos, los músicos, los psicólogos, que son conocedores de los hechos experimentales en relación a las características estructurales de los números en los diversos campos.

Si realmente el número, y las matemáticas en general, reflejan el orden del Mundo Uno (unus mundus), esto podría explicar el gran misterio de que las matemáticas, aunque son un fenómeno de la mente, se revelan tan extraordinariamente eficaces en la representación del mundo físico. Esta misteriosa armonía entre el alma y la materia está, sin ninguna duda, presente en los fundamentos de la física y demuestra las raíces pitagóricas de la Física actual.

Los quantas, al igual que los números, tienen dos aspectos complementarios, que son imprescindibles si queremos comprenderlos de manera más completa. Estos dos elementos tienen aspectos cuantitativos y cualitativos, a la vez estáticos y dinámicos.

“A fin de cuentas, el misterio del unus mundus se encuentra en la naturaleza del número” (Marie-Louise von Franz, Number and Time: Reflections Leading toward a Unification of Depth Psychology and Physics, Enanston: Northwestern University Press, p. 54)

J. G. Bennet y la importancia del número

El matemático J. G. Bennet, de acuerdo con Marie-Louise von Franz, reconoce que la investigación sobre la importancia real del número es muy antigua. En épocas remotas el hombre ya reconocía esta importancia. Si alguna vez nos liberamos a nosotros mismos de las limitaciones del pensamiento lógico, descubriremos una nueva significación de los números, porque los números y la lógica, como los entendemos hoy, son inseparables.

Semejanzas entre la Física actual y Pitágoras

La sentencia “todo es número” se atribuye a Pitágoras… En la teoría quántica actual no puede existir duda de que las partículas podrán también determinar esquemas matemáticos, pero de una naturaleza mucho más compleja… Si seguimos la línea del pensamiento pitagórico, podemos tener la esperanza de que la ley básica del movimiento será demostrada como una ley matemática simple…

Esto concuerda con la religión pitagórica y muchos físicos comparten su convicción sobre este tema, pero todavía no han encontrado ningún argumento convincente para demostrar que así debe ser.

También en el terreno de la astronomía los Pitagóricos llevaron a cabo importantes descubrimientos. Son los primeros que formularon la teoría de que el mundo es uno, esférico y finito. Hablaron también sobre la esfericidad de la tierra, sobre su movimiento alrededor de su eje y alrededor del sol, a pesar de que esta última teoría fuera formulada de una manera un poco oscura, se conjetura que deliberadamente. El descubrimiento de la inclinación de la eclíptica se atribuye a los Pitagóricos.

Ritmo – Número

Podríamos asegurar que el hombre produce música ya desde las épocas prehistóricas. Garland y Kahn (1995) señalan que se considera ya demostrado el hecho de que las primeras creaciones musicales son anteriores a la palabra hablada. El hallazgo más antiguo, con relación a las costumbres musicales del hombre, ha sido datado en 35.000 años y es un conjunto de huesos de mamut los cuales, según la opinión de los arqueólogos, fueron utilizados para producir sonidos aparentemente rítmicos. Así pues, el ritmo es el primer tipo de música que utilizó el hombre.

Refiriéndonos ahora al terreno de las matemáticas, el primer concepto matemático que comenzó a crearse en la mente del hombre desde muy antiguo, es el número. Este punto de vista tiene un sólido fundamento, que deriva del estudio sobre la manera en que el niño desarrolla gradualmente el concepto de número, ya desde la edad pre-escolar. Investigadores actuales como Gelman y Gallistei (1982) afirman que la primera capacidad del niño y la más elemental, en relación a las matemáticas, es la de la enumeración. El niño, a través de su capacidad innata de dividir el tiempo, crea una equivalencia 1 – 1 de los acontecimientos con los momentos de tiempo, es decir que en esencia está numerando. Lo mismo afirma D. Tall (1991) cuando refiere que el niño en principio numera sin tener concepto del número. Esto es evidente a causa de los errores que hace el niño, del tenor: uno, dos, tres, siete, … errores que son interpretados con la hipótesis de que el niño al principio utiliza sencillamente los nombres de los números, que coloca en una equivalencia 1 – 1 con los momentos en que los pronuncia. (Nota: O. Wilder (1986) afirma que la enumeración constituye una necesidad cultural, un elemento universal de civilización. La enumeración parece conducir al concepto de número a través de la utilización de símbolos, que en principio representaban de manera simple y visual el proceso de la enumeración |  para el 1, || para el 2, ||| para el 3 y esto nos presenta un serio indicio de la evolución común del hombre hacia las ideas del número y del ritmo). En resumen, podemos ya afirmar con una buena base, que los dos conceptos fundamentales y primarios del ritmo y del número tienen un origen común que provienen de la división del tiempo, a través de la creación de intervalos en su duración, y de la equivalencia 1 – 1.

Lo más notable es que también los filósofos Chinos de la época de Confucio consideraban los números pequeños 1, 2, 3, 4 como la esencia de la perfección (J. Jeans 1968). Euler, en 1738, intenta dar una explicación sobre el origen de la armonía. Tenemos, dice Euler, una tendencia innata a sentir satisfacción cuando descubrimos una regularidad o una ley. La regularidad más simple, por lo tanto la más fácil de apreciar, es la que se basa en las razones de los números simples 1, 2, 3, 4 (J. Jeans, 1968). En esencia, Euler está de acuerdo con el punto de vista pitagórico y lo sustenta en una base mas realista.

Los números primos

Intentaremos entrar en el pensamiento de los Pitagóricos, estudiando sus ideas así como la denominación que utilizaban para algunos números. Una de sus  enseñanzas más importantes trata de los llamados “números primos”. Los números primos son aquellos que pueden ser divididos con exactitud solamente por ellos mismos, dando como resultado la unidad, por ejemplo los números 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 y otros. Por el contrario, los números que no son primos pueden ser divididos al menos por otro número, además de por ellos mismo y por la unidad, como por ejemplo el 9, que se divide por 3.

Esta denominación fue dada por los Pitagóricos y muestra una parte de su filosofía oculta. Cada número natural puede ser escrito como derivado de los números primos. Estos números, que Proclo denominaría “auto-existentes”, simbolizan los principios primeros, las bases de los entes. Dado que todo número puede expresarse como derivado (es decir “producto”) de los números primos, eso quiere decir que los números primos están situados inmediatamente por debajo de la Unidad, en la jerarquía de los entes. Diríamos que son los primeros “Dioses” (que son también llamados “Enadas” como aspectos del Uno) los cuales, a través de su relación de fecundidad (derivado) dan nacimiento a los demás entes. Sus “productos” tienen diversos niveles de composición y de complejidad, dependiendo de cuántos números primos tomen parte en su nacimiento. Por ejemplo el número “6” pertenece a un primer nivel de composición, dado que es el producto del “2” y de “3”, mientras que el número “12” pertenece a un segundo nivel de complejidad, dado que es el producto de 2x2x3.

De alguna manera, los números primos muestran las dimensiones de los entes. La combinación de los números primos se da a través de la dimensión vertical, que es la que marca las relaciones de fecundidad. De esta manera, cada número se relaciona con otro de manera vertical. Por ejemplo, el número 6 es un número de área porque es creado por el derivado del 2 por el 3 (2×3 = 6). De esta manera tenemos números de dimensiones “n”, dado que los números primos son infinitos, cosa que resulta inconcebible para la imaginación humana actual (que está restringida por la geometría tridimensional) y pueden ser estudiado únicamente por medio de las matemáticas puras.

Los números perfectos

Se denomina perfecto el número en el cual la suma de sus divisores nos da como resultado el mismo número inicial, por ejemplo, el número 6 tiene como divisores los números 1, 2 y 3 y la suma de estos números nos da de nuevo el número 6. Otros números perfectos son el 28, el 496, etc.

También aquí es importante preguntarnos por qué los Pitagóricos llamaban perfectos a estos números y de esta manera, profundizar en la interpretación filosófica del valor de la perfección. Como ya vimos con anterioridad, cada número complejo se divide en partes, en fracciones, en sus padres en potencia. Cuando un número constituye él mismo la suma de sus divisores, de sus “padres”, entonces es perfecto. En la filosofía neoplatónica, lo perfectos es “aquello que retorna a sí mismo”. Es decir que cada número tiene una sombra-proyección de sí mismo en el mundo inferior que es la suma de sus divisores. Si esta suma “nos retorna” al mismo número, entonces este número puede retornar sobre sí mismo y por lo tanto es perfecto. El escritor antiguo Nicómaco de Gerasa (al que Marino de Neapolis, el director de la Academia Platónica, consideraba como la encarnación de su discípulo Proclo) nos explica más cosas sobre el valor metafísico y ético de los números perfectos.

Se atribuye al mismo Pitágoras el descubrimiento de los números asimétricos. Deriva de la relación existente entre la diagonal de un cuadrado y su lado. Esta relación se expresa a través de la raiz cuadrada del 2 (la cual, de acuerdo a la tradición, fue demostrada por Pitágoras) que es un número asimétrico. Justamente por esa razón se salvaron dos demostraciones.

Según Proclo, también la demostración del teorema que dice que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a 2 ángulos rectos, es debida a los Pitagóricos, así como lo relativo a triángulos, cuadrados… polígonos y el 2º libro de los Elementos de Euclides.

JOHN DEE – Matemáticas. La clave del Conocimiento

Las matemáticas conformaban la ciencia preferida de Dee. Consideraba que constituían la clave con la cual podrían descubrirse y describirse todas las Leyes y todos los Misterios del Universo.

Una de sus obras principales fue “Mathematical Preface to Euclide’ s Geometry» (Prólogo matemático a la Geometría Euclidiana), la cual es considerada por el historiador Peter French como un posible comienzo de la Ilustración. En dicha obra presenta por primera vez la aplicación de los métodos matemáticos a otras ciencias, enriquecida con aplicaciones de los campos del misticismo, de la metafísica y de la filosofía.

Para Dee las matemáticas no constituyen una ciencia mecánica. Influenciado por las enseñanzas pitagóricas, nos habla de las Entidades Matemáticas que habitan en un nivel de la Creación.

Admite una organización del Universo tripartita, determinando 3 Mundos: El Mundo Hiper-físico (que comprende entidades inmateriales, simples, indivisibles, incorruptibles), el Mundo Físico (en el que las entidades son materiales, compuestos, divisibles y corruptibles) y el Mundo Intermedio Matemático. Este último mundo comprende las entidades matemáticas, las cuales “no son absolutas y perfectas como las hiper-físicas, pero tampoco tan bajas y groseras como las físicas”. No pueden ser perceptibles por medio de los sentidos sino tan sólo a través de la Mente. Constituyen “vehículos” por medio de los cuales el hombre puede entrar en contacto con el mundo Hiper-físico y con sus entidades. Por esa razón las Matemáticas son la ciencia superior que nos permite descubrir las equivalencias entre el Mundo Físico y el Mundo Hiper-físico y con el Espíritu de la Creación.

Posteriormente, Dee divide las entidades matemáticas en Números y Magnitudes. Los números son entidades complejas compuestas por entidades elementales, las Unidades. La Aritmética es la ciencia que tiene como objeto el estudio de los números. Las Magnitudes son entidades que pueden ser descritas en el mundo físico como “gruesas”, “finas”, “largas”, etc. La ciencia que estudia las Magnitudes es la Geometría. Dee enfrenta las Magnitudes y sus componentes (las Líneas, los Puntos, etc.) como entidades inmateriales diferenciadas.

Estas consideraciones permitieron a Dee escribir que las Entidades Matemáticas inmateriales no son sino esquemas en “la Mente del Creador”, recordándonos las enseñanzas de Platón y de Pitágoras sobre el Mundo de las Ideas y de los Números.

Las influencias místicas de Dee son claramente apreciables ya desde sus dos primeras obras, aunque han sido perdidas: “El Arte de la Lógica en Inglaterra” (1547) y “Los 13 errores sofísticos, con sus descubrimientos, escritos en metro inglés” (1548). Estas dos obras fueron escritas en lengua vulgar, expresando desde muy temprano su convicción de que el conocimiento debe poder llegar a todos y ser traducido con el fin de que sea comprensible por aquellos que no hayan estudiado en la universidad.

Es probable que estas dos obras de Dee hayan sido influenciadas por Ramus (Filósofo y matemático francés, 1512 – 1572), famoso por su postura en contra de la Lógica aristotélica.  Los dos se habían encontrado en París en 1550 y la misma biblioteca de Dee comprendía una gran colección de obras de Ramus. Basado en Platón y en Pitágoras, Ramus consideraba que no hay nada en el mundo que sea tan variado y múltiple como los Números, razón por la cual apreciaba especialmente las Matemáticas. Defendió que es producto del recuerdo, dado que es imposible que una ciencia tal sea un descubrimiento humano.

Problematización actual

Los cambios revolucionarios y acelerados del pensamiento científico así como el descubrimiento de una nueva clase de comportamiento físico, han sacado a la luz el pensamiento herético de los filósofos de Elea y de la cosmo teoría platónica. Parece como si, después de tantos años, el pensamiento de Parménides, de Pitágoras y de Platón quisiera tomar la revancha de la interpretación geométrica y empírica del mundo que ha sido violentamente sacudida por los datos de la investigación científica. Realmente, la naturaleza se comporta de manera diferente a lo que lo hace el sentido común y sus axiomas geométricos, que son tan útiles a escala microcósmica humana pero tan inútiles para interpretar el comportamiento microcósmico y macrocósmico. Las matemáticas de Pitágoras, de Platón y, en parte de Demócrito parecen cercarse a la observación científica actual de la naturaleza.

Howard Eves, en su libro “Grandes momentos de las Matemáticas”, dice:

“La creencia del antiguo Pitágoras, de que todas las cosas dependen de los números enteros, se ve justificada y la vemos expresada en el comentario de Leonard Kronecker, que es referido a menudo: “Dios ha hechos los números naturales, todo lo demás es obra de los hombres”. Había llegado un momento histórico y verdaderamente importante para las matemáticas.«

Matemáticas, el secreto del universo

Podemos considerar a las matemáticas, siguiendo a Pitágoras, nada menos que el secreto del universo. Desde la época de Galileo los científicos han descubierto que no sólo los fenómenos físicos pueden ser captados por las matemáticas, sino que el mundo mismo parece tener un carácter matemático. Galileo denominaba a las matemáticas “lenguaje de la naturaleza” y Sir Arthur Eddington decía que el estudio de la física nos da “el conocimiento de las estructuras matemáticas”. El universo físico, con todas sus diferenciaciones, puede ser descrito con toda exactitud en términos de unas relativamente pocas ecuaciones.

Desde entonces han pasado tantos siglos y la belleza de las grandiosas reflexiones de los Pitagóricos continúa viva y sigue llenándonos de admiración.

Por esa razón, cuando hablamos de Pitágoras, entendemos la síntesis del espíritu griego, la síntesis de la belleza con la ciencia y con la teología, de Apolo con Dionisos.

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